怎么证明垂直

第一篇：怎么证明垂直

怎么证明垂直

1、

利用勾股定理的逆定理证明

勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。

2、

利用“三线合一”证明

要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。

3、

利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

4、

圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

5、

利用菱形的对角线互相垂直证明

菱形的对角线互相垂直。

6、

利用全等三角形证明

主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.

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1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，(更多精彩内容请访问首页WWW.)那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

。

第二篇：证明垂直习题

线面、面面垂直的判定及性质

一、选择题

1、已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确的个数是（） a．３ｂ．２ｃ．１

ｄ．０

2、已知直线l?平面?，有以下几个判断：①若m?l，则m//?；②若m??，则m//l；

③若m//?，则m?l；④若m//l，则m??．上述判断中正确的是（）

ａ．①②③ｂ．②③④ｃ．①③④ｄ．①②④

3、直线a不垂直于平面?，则?内与a垂直的直线有（）

ａ．0条 ｂ．1条ｃ．无数条ｄ．?内所有直线

4、在空间四边形abcd中，若ab?bc，ad?cd，e为对角线ac的中点，下列判断正确的是（）

ａ．平面abd?平面bdcｂ．平面abc?平面abd ｃ．平面abc?平面adc

ｄ．平面abc?平面bed

二、填空题

1、已知直线a，b和平面?，且a?b，a??，则b与?的位置关系是．

2、?，?是两个不同的平面，m，n是平面?及?之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作

为结论，写出你认为正确的一个命题．

3、设o为平行四边形abcd对角线的交点，p为平面ac外一点且有pa?pc，pb?pd，则po与平面abcd的关系是．

第 1 页（共 6 页三、解答题

1、如图所示，abcd为正方形，sa?平面abcd，过a且垂直于sc的平面分别交sb，sc，sd于e，f，g．

求证：ae?sb，ag?sd．

s

2、如图所示，四棱锥p?abcd的底面是正方形，pa?底面abcd，ae?pd，ef//cd，am?ef．

求证：mf⊥ab，mf⊥pc

p

a

）第 1 页（共 6 页）

3、如图，直角△abc所在平面外一点s，且sa?sb?sc，点d为斜边ac的中点． （1）求证：s ……此处隐藏1071个字……垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1)通过“平移”,根据若a//b,且b?平面?,则a?平面?

1．在四棱锥p-abcd中，△pbc为正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=

dc，2

e为pd中点.求证：ae⊥平面pdc.

分析：取pc的中点f，易证ae//bf，易证

bf⊥平面pdc

2．如图，四棱锥p－abcdabcd，∠pda=45°，点e为棱ab的中点． 求证：平面pce⊥平面pcd；

分析：取pc的中点g，易证eg//af，又易证af于是eg⊥平面pcd,则平面pce⊥平面pcd

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥p?ab中，

a?b平面,pab//cd,pd?ad,e是pb的中点，f是cd上的点，且

df?

ab,ph为?pad中ad边上的高。 2

（1）证明：ph?平面abcd；

（2

）若ph?1，ad?fc?1，求三棱锥e?bcf的体积； （3）证明：ef?平面pab.

分析：要证ef?平面pab，只要把fe平移到dg，也即是取ap的中点g，易证ef//gd, 易证dg⊥平面pab

4.如图所示, 四棱锥p?abcd底面是直角梯形

ba?ad,cd?ad,cd?2ab,pa?底面abcd,

e为pc的中点, pa＝ad。 证明: be?平面pdc;

分析：取pd的中点f，易证af//be, 易证af⊥平面pdc

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥p?abc中，ac?bc?2， ?acb?90?，pc?ac．ap?bp?ab，（ⅰ）求证：pc?ab；

（ⅱ）求二面角b?ap?c的大小；

p

a

c

b

6、如图，在三棱锥p?abc中，⊿pab是等边三角形，∠pac=∠pbc=90 o 证明：ab⊥pc

因为?pab是等边三角形，?pac??pbc?90?, 所以rt?pbc?rt?pac,可得ac?bc。 如图，取ab中点d，连结pd,cd, 则pd?ab,cd?ab, 所以ab?平面pdc, 所以ab?pc。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥p?abcd的底面是边长为1

的正方形，pa?cd,pa?1,pd?求证:pa?平面abcd；

_ b

_ a

_d

_c

8、如图1，在直角梯形abcd中，ab//cd，ab?ad，且ab?ad?

cd?1． 2

现以ad为一边向形外作正方形adef，然后沿边ad将正方形adef翻折，使平面

adef与平面abcd垂直，m为ed的中点，如图2．（1）求证：am∥平面bec；

（2）求证：bc?平面bde；

e

m

e

c

f

mc

b

a

9、如图，四面体abcd中，o、

e分别是bd、bc的中点，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad? （1）求证：ao?平面bcd；

（2）求异面直线ab与cd所成角的大小；

（1）证明：连结oc?bo?do,ab?ad,?ao?bd.

b

e

?bo?do,bc?cd,?

co?bd.

在?aoc中，由已知可得ao?1,co? 而ac?2,

?ao2?co2?ac2,??aoc?90o,即ao?oc.

?bd?oc?o, ?ao?平面bcd

,bc?cd，侧面sab为等边三角形，

10、如图，四棱锥s?abcd中，ab?bc

ab?bc?2,cd?sd?1．

（ⅰ）证明：sd?平面sab;

（ⅱ）求ab与平面sbc所成角的大小．

解法一：

（i）取ab中点e，连结de，则四边形

bcde为

矩形，de=cb=2，连结se，则se?ab,se?又sd=1，故ed?se?sd，所以?dse为直角。

由ab?de,ab?se,de?se?e，得ab?平面sde，所以ab?sd。sd与两条相交直线ab、se都垂直。

所以sd?平面sab。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体abcd—a1b1c1d1中o为正方形abcd的中心，m为bb1的中点， 求证：d1o⊥平面mac.

分析：法一：取ab的中点e，连a1e,oe,易证△abm≌a1ae, 于是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am, ∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o

法二：连om,易证△d1do∽obm,于是d1o⊥om

12．如图，正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱长都为2， d为cc1中点. 求证：ab1⊥平面a1bd；

分析： 取bc的中点e，连ae,b1e,易证△dcb≌△ebb1，

从而bd⊥eb1

13、.如图，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1中， 过点b作b1c的垂线交侧棱cc1于点e，交b1c于点f， 求证：a1c⊥平面bde；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

ab是圆o的直径，c是圆周上一点，pa⊥平面abc. ）求证：平面pac⊥平面pbc；

（2）若d也是圆周上一点，且与c分居直径ab的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.

p

a

15、如图，在圆锥po中，已知poo的直径ab?2,c是狐ab的中点，d为

ac的中点．证明：平面pod?平面pac;

16、如图，在四棱锥p?abcd中，底面abcd是矩形，pa?平面abcd．以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m．

求证：平面abm⊥平面pcd； ．

证：依题设，ｍ在以ｂｄ为直径的球面上，则ｂｍ⊥ｐｄ. 因为ｐａ⊥平面ａｂｃｄ，则ｐａ⊥ａｂ，又ａｂ⊥ａｄ， 所以ａｂ⊥平面ｐａｄ，则ａｂ⊥ｐｄ，因此有ｐｄ⊥平面ａｂｍ，所以平面ａｂｍ⊥平面ｐｃｄ.

b

6